Родился в Саратове 27 января (9 февраля) 1915 года. Его родители были рабочими. Детские и юношеские годы будущего актёра прошли в городе Аткарск Саратовской губернии. После окончания семи классов школы Борис Андреев стал работать слесарем-электромонтёром на комбайновом заводе в Саратове. Уже тогда он начал ходить в заводской драмкружок. Заметивший его успехи знаменитый Саратовский актёр И. А. Слонов предложил ему поступить в Саратовский театральный техникум, который Борис Андреев успешно окончил в 1937 году.

Некоторое время Борис Андреев играл на сцене Саратовского драматического театра. Театр поехал на гастроли, в Москву, там Андреева и заметил кинорежиссёр Иван Пырьев. Вскоре, в 1939 году, на широкий экран вышел первый фильм с его участием — «Трактористы», где актёр выступил достойно и не затерялся среди уже известных артистов.

Во время съёмок фильмов «Трактористы» и «Истребители» Борис Андреев приобрёл двух очень близких друзей — Петра Алейникова и Николая Крючкова. Впоследствии в кругу киноактёров он называл эту компанию «святой троицей».

Следующей была роль Харитона Балуна в «Большой жизни» (1-я серия — 1939 г., 2-я — 1958 г.).

В годы Великой Отечественной войны вместе с Марком Бернесом Андреев снялся в легендарном теперь фильме «Два бойца» (1943).

В роли Ильи Журбина («Большая семья», 1954) проявилось умение актёра воплощать психологически глубокие характеры. Проникнуто эмоциональной насыщенностью исполнение Андреевым ролей Лазаря Баукина в «Жестокости» (1959), боцмана Росомахи в «Пути к причалу» (1962). Крупнейшей работой артиста в кино стал Вожак в фильме «Оптимистическая трагедия» (1963), несколько эпизодов которого снимались в городе энергетиков Приднепровске Днепропетровской области, жители которого запомнили Андреева как уникального человека и актёра.

В 1971—1973 годах Борис Андреев снялся в ролях и прокомментировал текст в документальных фильмах «Народный артист Андреев», «Народный артист Касымов», «Народный артист Шукур Бурханов». Член правления Союза кинематографистов СССР.

Б. Ф. Андреев умер 25 апреля 1982 года, (по другим источникам — 21 апреля и 24 апреля). Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.