Родился 15 марта 1935 года в семье армянского повара и русской портнихи. Всю жизнь прожил в старом деревянном доме в Марьиной Роще.

С детства любил стихи Пушкина, сказки Андерсена и кукольный театр. Ещё будучи школьником, стал заниматься боксом. После школы поступил в институт физкультуры, но вскоре ушёл из него.

В 1955 году поступил в Цирковое училище на отделение клоунады. Его режиссёром-педагогом стал Юрий Павлович Белов. Это был единственный режиссёр, с которым работал Енгибаров на протяжении всей своей жизни. Ещё будучи студентом, Енгибаров стал выступать (с 1956 года) на эстраде в качестве мима.

В 1959 году Енгибаров окончил училище. Он выпустился как «соло-клоун». 25 июля 1959 года — дебют на манеже Новосибирского цирка. С 1959 года работал в армянском цирковом коллективе.

1960 год — гастролировал в Харькове, Тбилиси, Воронеже, Минске и других городах. 1961 год — гастроли в городах Одесса, Баку, Москва. Первые гастроли в Москве, в цирке на Цветном бульваре. Оглушительный успех. Первые заграничные гастроли — в Польше — Краков, Варшава. Тоже успех.

1962 год — гастроли в Ленинграде, где Енгибарову вручили медаль за лучший номер года. В Ленинграде он познакомился с Марселем Марсо и Роланом Быковым. Быков стал его близким другом на всю жизнь.

1963 год — снялся в главной роли (клоун Лёня) в фильме «Путь на арену» (студия «Арменфильм», режиссёр Г. Малян и Л. Исаакян). 1964 год — снялся в роли немого пастуха в фильме С. И. Параджанова «Тени забытых предков» (студия им. Довженко, Киев).

1964 год — в Праге, на Международном конкурсе клоунов Енгибаров занял первое место. Тогда же в чешских газетах были впервые опубликованы новеллы Енгибарова. 1965 год — вторые гастроли в Москве. В Праге родилась дочь Енгибарова — Барбара. Её мать — чешская журналистка и художница Ярмила Галамкова. 1966 год — на экраны выходит документальный фильм «Леонид Енгибаров, знакомьтесь!» (режиссёр В. Лисакович). За 1960—1969 годы Енгибаров объездил с гастролями весь СССР. Особенно его любили в Одессе, Киеве, Ереване, Ленинграде. Март-июль  1970-го — третьи московские гастроли Енгибарова. В этом же году в Ереване был снят фильм «2-Леонид-2».

1971 год — Енгибаров вместе с Беловым создают спектакль «Звёздный дождь» и показывают его в Ереване и в Москве (в Театре эстрады). Енгибаров вынужденно уходит из цирка и создаёт свой театр (режиссёр — Юрий Белов). Они репетируют в Марьиной Роще. За пять месяцев был создан спектакль «Причуды клоуна». В Ереване выходит первая книга новелл «Первый раунд». Также в этом году Енгибаров снялся в фильме Т. Е. Абуладзе «Ожерелье для моей любимой» (в роли клоуна Сурико). С октября 1971 года по июнь 1972 года Енгибаров гастролирует со своим театром по всей стране. За 240 дней было сыграно 210 спектаклей. В этом же году снялся в небольшом эпизоде в фильме В. М. Шукшина «Печки-лавочки».

В июле 1972 года Енгибаров формально находился в Москве в отпуске, репетировал новый спектакль. 25 июля умер от обширного инфаркта в своём доме в присутствии матери. 28 июля похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.