Михаил Михайлович Козаков родился в Ленинграде 14 октября 1934 года.
В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ и получил место в составе труппы театра имени В.Маяковского, откуда некоторое время спустя перешел в театр «Современник», а после в Театр на Малой Бронной.

Кинематографический дебют Михаила Козакова состоялся в 1956 году с ролью в драме Михаила Ромма «Убийство на улице Данте» (1956). В числе наиболее удачных актерских работ Михаила Козакова, роль Педро Зурито в фантастической мелодраме Владимира Чеботарева и Геннадия Казанского «Человек-амфибия» (1962), Сильвио в драме «Выстрел» (1966), Джека Бердена в сериале «Вся королевская рать» (1971). Также Михаил блестяще отработал в комедиях «Соломенная шляпка» (1974), «Здравствуйте, я ваша тетя!» (1975), «Комедия ошибок» (1978).
В качестве режиссера Михаил Козаков поставил сериал «Вся королевская рать» (1971), фильмы «Безымянная звезда» (1978), «Маскарад» (1981), «Покровские ворота» (1982).
Михаил Козаков ярко проявил себя выступая на концертной эстраде с программами стихов. «Поэзия в моём творчестве играет первостепеннейшую роль, — утверждает артист, — может быть, большую, чем работа в театре и кино. Это для меня своего рода „кислород“».
Козаков начал свои выступления в 1960-е годы со стихов Пушкина, Лермонтова, баллад Маршака. Постепенно репертуар обогащался произведениями Тютчева, Баратынского, Крылова, Пастернака, Ахматовой, Цветаевой, Мандельштама, Самойлова, Тарковского, Бродского. Заболоцкого, Левитанского.
В 1977 году Козаков создал на ТВ передачу «Памятник. Поэты — Пушкину», которая представляла русских поэтов XX века и его предтечи — Г.Державина.
В 70-80 гг. на эстраде Козаков обычно выступал без музыкального сопровождения, но в записях музыка играет всё большую роль.
В 1991-1996 годы Козаков работал в Камерном театре в Тель-Авиве, где создал свою антрепризу и выступал в концертах. Вернувшись в Россию, ставит спектакли в Москве и С.-Петербурге, выступает с концертными программами.
Михаил Козаков - Народный артист России (1980), Лауреат Государственной премии СССР (1967), Лауреат Государственной премии РСФСР имени братьев Васильевых (1983).
Умер 22 апреля 2011 года.