Леонид Куравлёв родился 8 октября 1936 года в Москве в семье Вячеслава Яковлевича Куравлёва (1909—1979), слесаря авиазавода. В 1941 году мать, парикмахера Валентину Дмитриевну Куравлёву (1916—1993), по ложному обвинению выслали на Север в посёлок Зашеек Мурманской области, где они с Леонидом прожили несколько лет на берегу озера Имандра.

В школе Леонид учился неважно. Особенно трудно ему давались точные науки — математика, химия и физика. Как признаётся сам Куравлёв, это и повлияло на выбор профессии. Сестра как-то шутя посоветовала ему после школы поступать во ВГИК — там уж точно не надо было сдавать ни одного из столь нелюбимых Леонидом предметов.

Правда, с первого раза Куравлёву поступить не удалось. В 1953 году его первая попытка окончилась провалом, и он устроился работать в московскую артель «Оптик». Следующая попытка состоялась в 1955 году. На этот раз Леонид успешно сдал экзамены и стал студентом актёрского отделения ВГИКа, где учился на курсе Бориса Владимировича Бибикова. В кино Леонид Куравлёв дебютировал ещё будучи студентом. В 1960 году он сыграл матроса Камушкина в историко-революционном фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин». Параллельно Куравлев снялся в дипломной работе Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают».

Куравлёв — ярко выраженный характерный артист, мастер эпизодов. Лучшие роли — Пашка Колокольников («Живёт такой парень», В. Шукшин), Хома Брут («Вий», А. Птушко), Володька Завитушкин («Не может быть!»), Жорж Милославский («Иван Васильевич меняет профессию», Л. Гайдай), Копчёный («Место встречи изменить нельзя», С. Говорухин), Шура Балаганов («Золотой телёнок», М. Швейцер), Афанасий Борщов («Афоня», Г. Данелия).

Участвовал в телепередаче «Белый попугай». В конце 90-х совместно с Вахтангом Кикабидзе снялся в рекламе циркониевых браслетов[4]. В конце 1990-ых гг. вёл на ТВ программу «Мир книг с Леонидом Куравлёвым», в которой рассказывалось о книжных новинках. Скульптура героя Л. Куравлева — слесаря Афони из одноименного кинофильма — была установлена в 2010 г. в Ярославле.