Андрей Яковлевич Эшпай родился 15 мая 1925 года в г. Козьмодемьянск Марийской АССР в семье Якова Эшпая — одиного из первых профессиональных марийских композиторов.
С 1943 г. Андрей добровольцем ушёл на фронт и воевал во взводе разведки до Победы. После окончания войны еще до сентября 1946 года Эшпай служил в управлении информации (Берлин, Карлсхорст).
После демобилизации (1946—1948) учёба в Музыкальном училище при Московской консерватории по специальностям фортепиано и композиция.

В 1953 г. Эшпай окончил Московскую консерваторию по классу композиции у Е.Голубева и фортепиано у В.Софроницкого, а в 1956 г. там же закончил аспирантуру под руководством А.Хачатуряна.
Творчество Эшпая проявилось в разных жанрах, наряду с симфоническими сочинениями, инструментальными концертами он пишет песни и романсы (свыше 100), музыку к драматическим спектаклям и кинофильмам.
Многие популярные песни Эшпая приходили на эстраду с экрана. В фильме «Повесть о первой любви» (1957) прозвучала и завоевала признание «Почему, отчего» (В.Котов). За ней последовали бодрая «Песня о дружбе» (В.Карпеко и Г.Регистан) и лирическая «Я сказал тебе не все слова» (Карпеко) из фильма «Исправленному верить» (1959). Песня Маши из фильма «Жажда» («Мы с тобой два берега», стихи Г.Поженяна, 1960); «Марш строителей» и «А снег идет» (стихи Е.Евтушенко) из к/ф «Карьера Димы Горина» (1961).
Ряд песен прозвучали на эстраде в интерпретации М.Кристалинской («Песня об иве», «То ли встречу» и др.). Песни Эшпая пели М.Кристалинская, М.Новохижин, В.Трошин, Г.Великанова, Е.Кибкало, К.Лазаренко, Р.Сикора, Э.Хиль, Р.Ибрагимов, И.Кобзон, Н.Дорда, польский певец Ежи Полонский, итальянка Норис ди Стефани и др.
С юности любимым певцом Эшпая был М.Бернес. Судьба свела их в работе над к/ф «Ночной патруль» (1957). По просьбе Бернеса Эшпай написал для него на стихи Е.Винокурова одну из лучших песен о войне «Москвичи» («Сережка с Малой Бронной», 1958). Доверительность интонаций и одновременно экспрессивность сделали песню своего рода музыкальным памятником погибшим в боях москвичам.
Тема войны живёт и в других песнях Эшпая: из кинофильма «Майор Вихрь», «Уходили парни на войну», «Я не забуду».
Наряду с ними прозвучали лирические песни «Криница» (стихи Дербенёва и Карпеко из одноименного к/ф, 1965), более поздние (80-е гг.) «Что знает о любви любовь», «Зашумит ли клеверное поле» (обе на стихи Евтушенко, исполнялись Л.Гурченко), «Неповторимая весна» (стихи Дербенёва), «Улетели, птицы, улетели» (стихи И.Шаферана), «Новогодняя песня», «Не вспоминай» (обе на стихи сына А.Эшпая) и др.
Многие песни написаны в танцевальных ритмах: танго «С первой встречи», «Ты, только ты», вальс «В Нескучном саду» (все на стихи Регистана) и др.
Андрей Эшпай автор музыки более 50 кино- и телефильмов («Адъютант его превосходительства», 1972; «Емельян Пугачев», 1978 и др.); балета «Ангара» (1976); оперетты «Нет меня счастливей» (1968); мюзикла «Любить воспрещается» (1973).
В крупных формах написаны: концерты для гобоя (1982) и саксофона-сопрано (1985—1986) и др., 14 симфоний, хоровой концерт.
В 1965—1970 гг. Эшпай преподавал композицию в Московской консерватории.
Выступает как пианист, исполняя свои произведения.
Андрей Яковлевич - Член Международного музыкального совета при ЮНЕСКО (с 1977), почетный член Общества им. Ф.Листа (1979, США), председатель жюри конкурсов пианистов на VI и VIII Междунар. конкурсах им. П.И.Чайковского (1978, 1986). Лауреат Государственной (1976) и Ленинской (1986) премий. Народный артист СССР (1981).