Родился в Москве 24 июля (6 августа) 1915 года. В 1939 году окончил Новосибирское музыкальное училище по классу фортепиано A. Штейна. По композиции занимался у М. Невитова и в 1945—1946 в Ленинградской консерватории у В. В. Щербачева. 
В годы Великой Отечественной войны руководил армейскими ансамблями песни и пляски. В 1946—1948 - худрук матросского ансамбля песни и пляски Краснознаменной Амурской флотилии. 

В 1949—1960 - ответственный секретарь Сибирского отделения Союза композиторов СССР. 
В 1949—1952 - заведующий музыкальной частью Новосибирской студии кинохроники.

Горячая влюбленность в народное творчество, желание глубоко изучить его побудило композитора отправиться в путь за песней. В начале 50-х годов вместе с композитором А. Г. Новиковым Левашов принимает участие в фольклорной экспедиции по Сибири и Алтаю. Из поездок он привез более трехсот народных песен, многие из них, бережно и талантливо обработанные композитором, прочно вошли в репертуар разных хоровых коллективов.

Уже сложившимся музыкантом возглавил в 1954 году Сибирский народный хор, который быстро выдвинулся в число лучших хоровых коллективов страны, а на VI Всемирном фестивале молодежи и студентов стал лауреатом.
В 1962 году Левашов становится художественным руководителем Русского народного хора имени М. Е. Пятницкого.

В течение ряда лет был ведущим телепередачи "Песня далекая и близкая" (ранее "Товарищ песня"). 

Умер 29 сентября 1994 года (Москва). Похоронен на Кунцевском кладбище.

Сочинения: оперетты — Чистые ключи (либретто собственнон и В. Пухначева, Новосибирск, 1963), Ветры весенние (Новосибирск, 1964); 
для солистов, хора и симфонического оpкестра — поэма-кантата Моя Сибирь (сл. В. Пухначева, 1950), Амурская поэма (сл. А. Вольского, 1949); 
для хора и симфонического оркестра — сюиты Колхозные поля (сл. В. Орловской и А. Машистова, 1952), Над широкой Обью (сл. В. Пухначева, 1955), Широкие степи (сл. В. Пухначева, 1958), Солнце над Россией (сл. B. Пухначева, 1961); 
вокально-хореографические сюиты: Расцветай, земля весенняя (сл. П. Градова, 1963), Здравствуй, Волга (сл. Л. Кондырева, 1971), Поэма о Москве (сл. В. Пухначева, 1976); 
для симфонического оpкестра — сюита Счастливая земля (1954); 
для фортепиано и симфонического оркестра — Концертная фантазия (1950); 
для оркестра русских народных инструментов — Концертная фантазия (1961); 
для фортепиано — Сюита (1939); 
для голоса и фортепиано — романсы на сл. А. Пушкина, М. Лермонтова, А. Фета, А. Блока, Е. Стюарт; песни на сл. В. Алферова, В. Бокова, Л. Кондырева, А. Пдлькина, М. Пляцковского, А. Софронова, А. Соболева, А. Пришельца, В. Харитонова, В. Щеголева, С. Щипачева, в т. ч. Над полями зорька светлая, За околицей, Зажглась звезда далекая, Позови меня, Россия, Степи, степи, Соловьи России, Родное Подмосковье, Нет ничего дороже Родины, цикл Приходи весна (сл.; П. Градова, В. Пухначева, 1958); музыка к драматическим спектаклям и фильмам.