Анчаров родился 28 марта 1923 года в семье инженера-конструктора Московского электролампового завода Леонида Михайловича Анчарова (у. 1968) и его жены, преподавателя немецкого языка Евгении Исаевны Анчаровой (у. 1959). Посещал музыкальную школу и детскую изостудию при ВЦСПС.

В 1940 году поступил в Архитектурный институт. В июле 1941 года ушёл из института и вместе с Юрием Ракино, соучеником по изостудии, подал заявление в райвоенкомат с просьбой зачислить добровольцем на фронт. По направлению райвоенкомата сдал экзамены и поступил в Военный институт иностранных языков Красной Армии, где изучал китайский и японский языки. Окончил его в 1944 году. В качестве военного переводчика с китайского языка в 1945 году был направлен на Дальневосточный фронт, участвовал в боевых действиях Советской Армии в Маньчжурии. В декабре 1946 откомандирован в Москву. Демобилизовавшись в 1947 году, жил на случайные заработки.

В 1948 году поступил по конкурсу на живописное отделение ВГИКа. Знакомство с Т. И. Сельвинской, студенткой МГХИ, изменило его планы: после месяца учёбы во ВГИКе перешёл на факультет живописи Московского государственного художественного института имени Сурикова (закончил в 1954). Член ВКП(б) с 1950 года.

В 1955—1958 годах учился на курсах киносценаристов, в 1956—1959 годах работал референтом-сценаристом в сценарной мастерской при Сценарной студии Управления по производству фильмов Министерства культуры СССР. В 1959-61 годах снова жил на случайные заработки. С 1962 года пишет сценарии (в том числе к первому советскому телесериалу «День за днём»), 27 декабря 1966 года становится членом Союза писателей СССР.

Михаил Анчаров скончался 11 июля 1990 года.