Родился 17 августа 1945 года в Ташкенте, где в те годы временно жили его родители. До войны отец Григория работал концертмейстером в Ленинградской консерватории, а также снялся в эпизоде в легендарном фильме "Моя любовь" (пианист в ансамбле на танцах). В конце 40-х семья вернулась в Ленинград. Отец Григория продолжил работу в Ленинградской консерватории.

Григорий рано увлекся музыкой. Уже с 14-ти лет он играл на танцах в одном из клубов города Тосно (в 50-ти км от Ленинграда). После окончания музыкального училища имени Римского-Корсакова Клеймиц ушел служить в ряды Советской Армии, где был дирижером армейского оркестра. Служил Григорий в Архангельске. Там он и остался после армии, работал преподавателем в Архангельском музыкальном училище.

Через некоторое время Григорий Клеймиц вернулся в Ленинград и поступил в Ленинградскую консерваторию. В это же время его пригласил для совместной работы популярный в те годы эстрадный певец Жан Татлян. Григорий стал музыкальным руководителем ансамбля Жана Татляна, играл на клавишных инструментах, писал аранжировки. Подружившись за время совместной работы, Клеймиц и Татлян оставались большими друзьями долгие годы.

В 1970 году Григорий Клеймиц перешел на работу в первый советский ВИА - "Поющие гитары""Поющие гитары", став его музыкальным руководителем. В "Поющих гитарах" Клеймиц серьезно поднял музыкальную культуру и дисциплину, на нем лежала ответственность за репертуар и общее звучание ансамбля, качество оркестровок, проведение репетиций и т.д.

В ноябре 1971 года в "Поющих гитарах" появилась новая солистка - 18-летняя дочь известного ленинградского музыканта Виталия Понаровского - Ирина. Совместная работа в ансамбле быстро сблизила молодых людей, и вскоре Григорий и Ирина стали мужем и женой.

Когда "Поющие гитары" начали работу над зонг-оперой "Орфей и Эвридика", Ирине досталась роль Эвридики, а на плечи Григория легли все вопросы вокальных и инструментальных аранжировок, разучивания партий, проведения репетиций, а также тысячи других мелких и крупных проблем. Зонг-опера "Орфей и Эвридика" имела оглушительный успех, но, к сожалению, разрушила старый, концертный ансамбль. Прежние музыканты начали уходить из "Поющих гитар".

В 1976 году Григорий Клеймиц и Ирина Понаровская решились на смелый проект создания нового ансамбля, который должен был называться "Ты и Я". Это был музыкальный коллектив (в который, кстати, входили и некоторые музыканты "Поющих гитар"), ориентированный на сотрудничество двух лидеров. Ансамбль подготовил новую программу, которая в полном объеме так никогда и не была представлена зрителю, но некоторые песни из этой программы звучат по радио до сих пор. В конце репетиционного периода у Ирины Понаровской неожиданно изменились планы, она покинула коллектив и решила заняться сольной карьерой (брак Григория и Ирины к тому времени уже распался). Но песни, которые дали Ирине Понаровской звездный старт, а также принесли победу на "Сопоте-76", в т.ч. и знаменитая "Мольба", были оркестрованы и записаны для нее Григорием Клеймицем.

Так совпало, что в это же время другой ленинградский ансамбль - "Дружба" - тоже покинула солистка. Эдита Пьеха решила начать самостоятельную работу, она искала нового музыкального звучания, других красок, другой стилистики. Эдита Станиславовна пригласила Григория Клеймица на должность руководителя своего нового ансамбля. Из старого репертуара Пьеха оставила всего несколько песен, а большинство песен нового периода были сделаны для нее Григорием Клеймицем. Наиболее яркие из них: "Соловьиная роща", "Вероника", "Не привыкай", "Горько", "Если ты с малых лет" и т.д.

Из-за постоянной гастрольной жизни Григорий не мог уделять достаточно времени семье (к тому времени у него уже была жена и двое сыновей), поэтому он вынужден был покинуть постоянно гастролировавший коллектив Эдиты Пьехи. Тогда основатель и художественный руководитель Ленинградского Мюзик-холла Илья Рахлин пригласил Клеймица на должность главного режиссера и музыкального руководителя. Григорий Давидович с огромным энтузиазмом взялся за новую работу. Репетиции с солистами, оркестровки, аранжировки, записи пластинок... Без гастролей, правда, и тут не обошлось.

Восемь лет отдал Григорий Клеймиц Ленинградскому Мюзик-холлу. Там же он заработал и свой первый инфаркт. Случилось это в 1990 году. К счастью, тогда все обошлось, Григорий поправился. Но врачи настояли на том, чтобы он сменил род деятельности и ограничился только работой пианиста. Григорий Клеймиц оставил работу в Мюзик-холле и перешел в театр "Бенефис" под управлением Михаила Боярского.

В начале 90-х на ностальгической волне в город своих детских воспоминаний и исторических грез Санкт-Петербург устремилась старая эмигрантская аристократия. В эти годы Григорий Клеймиц вместе с лучшими музыкантами традиционной питерской школы работал в самых дорогих отелях и ресторанах города. Их программа была сделана на высочайшем музыкальном и художественном уровне и рассчитана на старых аристократов.

С 1993 года Григорий Клеймиц занимался в основном студийной работой. Вместе со своими друзьями - джазменами В.Водянниковым (бас, мандолина, аккордеон, перкуссия) и В.Моисеевым (кларнет, альт и тенор-саксофон) записал магнитоальбом "Grigory Kleimiz trio" - Evergreen. Выпустил на "Мелодии" сольный альбом "May way" - популярные джазовые мелодии. Помог своему другу Виталию Коротаеву записать сольный диск романсов.

В 1997 году Григорий Клеймиц был одним из инициаторов возрождения ВИА "Поющие гитары". Первые два месяца репетиции ансамбля проходили у него дома. Были найдены записи, восстановлены аранжировки 25-летней давности. Музыканты вместе добились того фирменного звучания, которое всегда было визитной карточкой "Поющих гитар". И снова начались концерты, гастроли...

Умер Григорий Клеймиц в 1998 году, на сцене "Гигант-холла", аккомпанируя своему другу, известному питерскому певцу Виталию Коротаеву. На заключительном аккорде песни, сразу после слов "... и в дальный путь на долгие года" он скончался от обширного инфаркта.

Григорий Клеймиц не дожил до вручения ему документа о присвоении звания Заслуженного артиста России. Только на сороковой день после его смерти, на вечере памяти Григория Клеймица его семье была вручена медаль и официальное удостоверение. Вечер памяти проходил все в том же "Гигант-холле", где состоялся последний концерт музыканта. На вечере присутствовали не только близкие и родные, не только те, с кем Клеймиц сотрудничал долгие годы, но и люди, с которыми Григорий Давидович работал и общался совсем недолго, но запомнился им навсегда - Михаил Боярский, Людмила Сенчина, Вилли Токарев, Леонид Алахвердов и другие.

Григорий Давидович Клеймиц работал со многими известными музыкантами: Филиппом Киркоровым, Мариной Капуро, Ольгой Вардашевой, Анатолием Тукишем, Виталием Коротаевым, Сергеем Захаровым, хором "lege artis" п/у Б.Абальяна, театром "Зазеркалье" и другими. Сотрудничал с популярными композиторами: Я.Дубравиным, А.Петровым, А.Морозовым, М.Фрадкиным, С.Касторским, Вл.Успенским, А.Журбиным. Принимал участие в телепередачах "Однажды вечером" с Д.Нагиевым и С.Ростом, "No Smoking" с К.Набутовым. Цикл передач о Григории Клеймице на 51-м канале (ныне MTV) провела И.Тайманова.

Григорий Клеймиц всегда жил и работал на пределе, отдавая всего себя работе и дружбе. Никто из людей, знавших его при жизни, никогда не забудет этого прекрасного человека, великолепного музыканта и верного друга - Григория Клеймица.