Александр Борисович Белявский родился 6 мая 1932 года в Москве.

Заслуженный артист РСФСР (26.04.1988).
Народный артист России (22.11.2003).

Окончил геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота (1955, ныне - Государственный университет цветных металлов и золота).
Окончил Театральное училище имени Б.В. Щукина (1961).

В 1955 году, после защиты диплома, Белявский уехал в Иркутск, где поступил на работу в Восточно-Сибирское геологическое управление. 
В Иркутске он дебютировал на сцене Иркутского областного драмтеатра в самодеятельном спектакле Геологического управления "Горе от ума". Белявский исполнил роль Молчалина. И спектакль, и работа молодого актера были замечены в газете "Восточно-Сибирская правда". 

После возвращения в Москву поступил на должность младшего научного сотрудника в Институт НИТРИЗолото, продолжал участвовать в самодеятельных спектаклях Дома учителя.
В марте 1957 года уволился из института и решил поступать в театральное училище. Он был принят в Щукинское училище при Театре имени Вахтангова.

Летом 1957 года Александр начал сниматься в своем первом кинофильме "Рассказы о Ленине", сыграв роль молодого рабочего Коли. В 1961 году, получив диплом с отличием и став артистом театра и кино, Александр был приглашен на работу в Московский Театр Сатиры.

В 1964 году снялся в главной роли в фильме польского режиссера Леонарда Бучковского "Прерванный полет". Во время работы в Варшаве актер овладел польским языком, после чего работал еще в шести польских фильмах, в том числе в популярном сериале "Четыре танкиста и собака"(1966), в котором он сыграл роль советского капитана Павлова.

В 1964-1966 годах был актером труппы Московского драматического театра имени К. С. Станиславского.
С 1966 года работал в Театре-студии киноактера.

Наиболее удачными из ранних киноролей стали: Сергей Крылов в фильме "Иду на грозу" режиссера Сергея Микаэляна, Кулагин в фильме "Их знали только в лицо" режиссера Антона Тимонишина, Володя в "Июльском дожде" режиссера Марлена Хуциева, Шельга в "Крахе инженера Гарина" режиссера Александра Квинихидзе.

Всего в кино, в том числе зарубежном, так как Белявский снимался в Польше, ГДР, Северной Корее, Финляндии, Франции, Чехословакии, США, актером было сыграно более 100 ролей.

Самыми запомнившимися для зрителя работами Белявского стали роль Саши в комедии Эльдара Рязанова "Ирония судьбы, или  с  легким паром" (1975) и роль Фокса в телесериале режиссера Станислава Говорухина "Место встречи изменить нельзя" (1979).

Из работ позднего периода удачными стали роли: Леонида Брежнева в фильме режиссера Игоря Гостева "Серые волки" (1991), адмирала из комедии Романа Кочанова "ДМБ" (2000); криминального авторитета по кличке Король в фильме Егора Кончаловского "Антикиллер" (2001); российского адмирала в блокбастере Фила Алдена Робинсона "Цена страха" (2002).

Много занимался дубляжем, принимал участие в озвучивании многих популярных зарубежных фильмов.
С января 1966 по 1970 годы являлся первым ведущим юмористической телепередачи "Кабачок 13 стульев". В 1990-х годах снимался в телепередачах "Белый попугай", "С легким паром", "В нашу гавань заходили корабли".

В 1999 году был ведущим передачи "На здоровье" на канале РТР. 
В том же году вернулся и к театральной деятельности, участвовал в трех антрепризах: "Императрица" (Советник), "Лев зимой" (Генри) и "А-ля фуршет со святой водой" (Анатолий).

Погиб Александр Борисович  8 сентября 2012 года в Москве.