Родился 10 апреля 1919 года в селе Промзино (ныне посёлок Сурское, Ульяновская область) (по другим даным, в Екатеринодаре, ныне Краснодар[1]) в семье служащего.

Закончил в 1937 году среднюю школу № 36 города Краснодара. Уже более 33 лет в музее истории школы бережно хранится фото материал и воспоминания о нем.

Учился в МГК имени П. И. Чайковского по классу скрипки у А. И. Ямпольского (окончил в 1940 году), затем работал в Ансамбле песни и пляски НКВД СССР как скрипач и дирижёр. С 1948 года ― концертмейстер и ассистент дирижёра Оперного оркестра Всесоюзного радиокомитета (до 1953 года), Симфонического оркестра Московской филармонии (1953—1958).

В 1958 году возглавил Эстрадно-симфонический оркестр Центрального телевидения и Всесоюзного радио (ныне — Академический Большой концертный оркестр имени Ю. В. Силантьева Российского государственного музыкального телерадиоцентра), руководил им в течение 25 лет. Под управлением Силантьева оркестр много выступал в СССР и за границей, сопровождая крупнейших советских певцов, среди которых ― Муслим Магомаев, Иосиф Кобзон, Клавдия Шульженко, Нани Брегвадзе, Лев Лещенко, Р. И. Ибрагимов и многие другие. Также оркестр под управлением Юрия Силантьева участвовал в озвучивании фильмов «Берегись автомобиля», «Девчата», «Семнадцать мгновений весны», «Семь стариков и одна девушка», «Под крышами Монмартра» и др.

Активный пропагандист музыки советских композиторов, Силантьев стал первым исполнителем многих сочинений, написанных специально для его оркестра. Написал несколько оригинальных произведений.

Умер 8 февраля 1983 года в 22.00 часа в Концертной студии Останкино:

"Я была свидетелем того момента, когда его не стало. Когда он лежал, и под головой его были шинели. Он был распростерт на них в концертной студии Останкино, потому что снимался концерт, посвященный дню Советской армии — это было 9 февраля 1983 года. Когда после своего выступления я вошла в гримерную переодеваться, мне сказали, что Силантьева не стало. По студии пронеслось: «Юрий Васильевич умер!». Мы были в состоянии шока — ведь только сейчас мы с ним пели, и он сидел с дирижерской палочкой во фраке, разговаривал с музыкантами и певцами… И вдруг его не стало. И я подумала: «Боже мой, как это может быть?». И только потом я поняла, что ничего не закончилось, что осталась его душа, вобрав в себя все то, что мы называем сокровенностью, музыкальностью, интеллектом, желанием жить, учительством — все это собралось вне тела… Он был очень умный человек, и мы с ним на репетиции во время антракта часто разговаривали. Он знал досконально всю историю России, мог дать оценку историческому периоду или революции, читал Соловьева и Костомарова, знал, когда какой царь умер, какую царицу отправили в монастырь, и так далее (Валентина Толкунова).

Похоронен в Москве на Кунцевском кладбище.

Балет «Юность» (1977); для солистов, хора и симфонического оркестра — оратория «Ленин» (слова В. В. Маяковского, 1970); для солиста, хора и симфонического оркестра — Комсомольская симфония (слова М. Геттуева, 1976); для симфонического оркестра — Приветственная увертюра (1981); для эстрадно-симфонического оркестра — Концертный вальс (1969), Корейская рапсодия (1972); для фортепиано — Двенадцать пьес (1949); для виолончели соло — 24 прелюдии (1973).