Родилась в семье учёного, профессора медицины Казанского университета Михаила Павловича Тушнова (ум. в 1935). Мать — Александра Георгиевна Постникова, выпускница Высших женских Бестужевских курсов в Москве. В Казани семья жила в доме на Большой Казанской улице (ныне — Большая Красная), затем на улице Миславского. Летом — на Волге, в Шеланге. Память о родных волжских просторах всю жизнь питала творчество Вероники. Увлечения её детства и юности — животные и цветы.

В 1928 году окончила в Казани одну из лучших школ города — № 14 им. А. Н. Радищева с углублённым изучением иностранных языков, хорошо говорила по-английски и по-французски. Первым заметил литературную одарённость Тушновой её школьный учитель литературы Борис Николаевич Скворцов, нередко читавший её сочинения вслух как образцовые. После школы, по настоянию отца, видевшего в ней будущего врача, поступила на медицинский факультет Казанского университета. Биографы особо отмечают властный и деспотичный характер отца Вероники, в семье всё подчинялось его желаниям и воле, вплоть до распорядка дня, подачи на стол обеда или ужина.

В 1931 году в связи с переводом отца во Всесоюзный институт экспериментальной медицины (ВИЭМ) семья переехала из Казани в Ленинград, где Тушнова продолжила учиться в мединституте. Вскоре семья переезжает в Москву, где отец, как известный учёный, получает квартиру на Новинском бульваре. Поступила в аспирантуру при кафедре гистологии ВИЭМ. В столице занялась живописью, тогда же началось серьёзное увлечение поэзией. В 1938 вышла замуж за врача-психиатра Юрия Розинского. В этом же году были опубликованы первые стихи.

В 1941 году, по совету читавшей её стихи Веры Инбер, поступает в Литературный институт им. А. М. Горького. Но учиться там не довелось: с началом Великой Отечественной войны вместе с матерью и маленькой дочкой Наташей эвакуировалась в Казань, где работала палатным врачом нейрохирургического госпиталя для раненных бойцов Красной Армии. Через два года, в феврале 1943 года, возвращается в Москву, работает врачом-ординатором в госпитале. Первый брак распадается.

В 1944 году в «Новом мире» публикуется её стихотворение «Хирург», посвящённое многоопытному операционному эскулапу Н. Л. Чистякову, работавшему в этом же госпитале. Также в 1944 году в «Комсомольской правде» печатается цикл «Стихи о дочери», который получает широкий читательский отклик.

Дебютным сборником стихов и поэм стала «Первая книга» (1945), вышедшая в издательстве «Молодая гвардия». Творчеством Тушновой был очарован знаменитый актёр Василий Качалов, который, по словам его биографа В. В. Виленкина, «зачитывал» домашних и гостей стихами Вероники

В 1947 участвовала в первом Всесоюзном совещании молодых писателей.

Второй сборник Тушновой — «Пути-дороги» — вышел только через 9 лет после первого, в 1954. С наибольшей полнотой обострённое лирическое чувство поэтессы раскрылось в последние годы жизни в сборниках «Память сердца» (1958), «Сто часов счастья» (1965) и других, в которых она размышляет о высокой любви, о глубоких человеческих отношениях.

Вела творческий семинар в Литературном институте им. А. М. Горького. Работала рецензентом в издательстве «Художественная литература», очеркистом в газете, переводила с бенгали (с подстрочников) Р. Тагора. Плодотворное сотрудничество и дружба связывали Тушнову с сербской поэтессой Десанкой Максимович, которой она посвятила оригинальные стихи. Известны переводы с татарского Габдуллы Тукая.

Большой интерес представляют путевые стихи Тушновой, написанные по мотивам частых поездок по стране, рисующие современный её быт и своеобразную атмосферу аэропортов, вокзалов, поездов. Наблюдения, размышления и переживания в дороге органично вплетены в лирические и любовные сюжеты.

Наиболее известное стихотворение Тушновой, обессмертившее её имя — «Не отрекаются любя»  (написано в 1944[14]). Романс на музыку Марка Минкова впервые прозвучал в 1976 году в спектакле Московского театра им. Пушкина, но суперхитом стал в 1977 году в исполнении Аллы Пугачёвой. На протяжении десятилетий шедевр пользуется неизменным успехом у слушателей. Сама Пугачёва позже называла песню главной в своём репертуаре, признавалась, что во время исполнения её прошибает слеза, и что за это чудо можно дать Нобелевскую премию.

Весной 1965 года Вероника тяжёло заболела и оказалась в больнице. Скончалась в Москве 7 июля 1965 года от рака. Похоронена на Ваганьковском кладбище вместе с родителями (20-й участок).