Оскар Борисович Фельцман родился 18 февраля 1921 года в Одессе в семье известного хирурга Бориса Осиповича Фельцмана.
В 5 лет Оскар начал заниматься игрой на скрипке с известным педагогом Столярским, но уже после двух недель настоял на обучении игре на фортепиано и учился у выдающегося профессора - Берты Михайловны Рейнбальд. Уже через год родилась и первая фортепианная пьеса Оскара Фельцмана - «Осень».

В 1939 году О.Фельцман окончил знаменитую школу имени П.С.Столярского с занесением на Золотую доску почёта и поступил на композиторский факультет Московской консерватории в класс В.Я.Шебалина. Успехи в учёбе были отмечены Сталинской стипендией.
С началом войны Фельцман был эвакуирован в Новосибирск, где в свои 20 лет стал ответственным секретарём Сибирского Союза композиторов.
В Новосибирске Фельцман писал музыку для филармонии, Ленинградского Александринского театра, Еврейского театра Белоруссии. Была и творческая командировка в Сталинск, где находился тогда Московский театр оперетты, для которого молодой композитор написал оперетту по пьесе В.Катаева «Синий платочек». Знакомство с Московским театром оперетты сыграло важную роль в творческом поиске композитора и существенно повлияло на трудный выбор в пользу «лёгкого жанра».
По возвращению в Москву продолжилось сочинение серьезной музыки, состоялось вступление в Союз композиторов, но не была забыта и оперетта на сценах театров страны появились его музыкальные комедии Фельцмана «Чужая ночь», «Воздушный замок», «Суворочка» «Шумит Средиземное море». Кроме оперетт Фельцман начал писать музыку к цирковым номерам, эстрадным представлениям, постановкам для детей театра Натальи Сац.
В 1952 году Оскар Фельцман в лучших традициях классической музыки сочинил Концерт для скрипки с оркестром в трех частях. Тогда же последовало обращение к песням, первой из которых стала «Теплоход» на стихи В.Драгунского и Л.Давыдович. Исполнил её знаменитый Леонид Утёсов.
Песни Фельцмана быстро нашли своих благодарных исполнителей и восторженных слушателей. 
В 1967 году на радио организовали передачу «С добрым утром!». Фельцман написал для неё песню-заставку, которая каждое воскресенье возвещала, что «воскресенье - день веселья». В дальнейшем многие замечательные песни композитора впервые звучали в этой передаче.
О.Б. Фельцман - Народный артист России, кавалер орденов Дружбы народов и «За заслуги перед Отечеством» IV степени, многократный лауреат международных, всесоюзных и всероссийских песенных фестивалей.
Больших творческих успехов добился и сын композитора - Владимир Оскарович Фельцман, ставший одним из самых заметных музыкантов современности - пианистом, дирижёром, композитором.
Умер 3 февраля 2013 года, похоронен на Новодевичьем кладбище.